1º ANO - Revisão para a Prova (FUNÇÃO AFIM)

FUNÇÃO AFIM (parte 1)

Uma função é utilizada para relacionar valores numéricos y de uma determinada expressão algébrica de acordo com cada valor que a variável x assume.

Sendo assim, a função do 1° grau relaciona os valores numéricos obtidos de expressões algébricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a função:

f(x) = ax + b

O objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x).

Entenda melhor assistindo estes vídeos:

É possível achar a função se soubermos os valores de a e de b.
Exemplo1: Se a = 2  e  b = -3 então é claro que a função será f(x) = 2x - 3

Mas na maioria dos casos não temos disponível os valores de a ou b. Às vezes a situação nos dá um ponto e um dos valores, a ou b. Daí para determinarmos essa função, exige mais conhecimento algébrico. Mas não se preocupe, irei fazer alguns exemplos para mostrar.


Exemplo2: Se a = -1 e essa função passa pelo ponto (4, 3). Qual a equação desta função?
Como f(x) = ax + b , então, como a = -1, sabemos que esta função será assim: f(x) = -1x + b
Temos ainda o ponto (4, 3), ou seja, quanto o x = 4 o resultado de y = 3. Isso quer dizer que f(4) = 3.
Agora basta substituir o f(4) = 3 na equação f(x) = -1x + b. Fica assim:

f(x) = -1x + b

(substitua primeiramente o valor de x)

f(4) = -1.4 + b

(substitua agora o valor de f(x) )

  3   = -1.4 + b

(agora basta isolar o b para achar o seu valor)

3 = - 4 + b

- b = - 4 - 3

- b = - 7

(multiplique a equação por (-) )

b = 7

Assim, como a = -1 e achamos o b = 7. Então a função é f(x) = -1x + 7


Exemplo3: Se b = 4 e essa função passa pelo ponto (5, -1). Qual a equação desta função?
Repita o processo do exemplo acima, com uma única diferença. Nós temos agora o valor de b, então é só colocar o 4 no lugar do b. Temos então os seguintes dados:

f(x) = ax  + 4     e    f(5) = - 1

Então, f(5) = a.5 + 4

- 1 = 5a +4

-5a = 4 +1

-5a = 5

(multiplique a equação por (-) )

5a = - 5

a = -1

Existem outras situações que não dão os valores de a ou b. Para estes casos eu recomendo que assistam o próximo vídeo. Deem pausa no vídeo assim que uma nova questão surgir e tentem resolver sozinhos. Não adianta só assistir, matemática só se aprende fazendo. Depois deem play no vídeo para ver se acertaram.
Caso acertem, meus parabéns, vocês estão desenvolvendo bem.
Caso erre, não desanime. Veja bem como se faz os cálculos, e tente refazê-los sozinho.

GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM

Vejamos um exemplo para a função f(x)= x – 2.

x = 2, temos então f(2) = 2 – 2 , ou seja, f(2)=0

x = 5, temos então f(5) = 5 – 2 , ou seja, f(5)=3

x = -1, temos então f(-1) = -1 – 2 , ou seja, f(-1) = -3

Note que os valores numéricos mudam conforme o valor de x é alterado. Sendo assim, obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Para facilitar o entendimento, chamamos f(x) de y, ou seja:

(x, f(x)) = (x, y)

Daí os pares ordenados das contas acima são:

(2, 0)

(5, 3)

(-1, -3)

Cada par ordenado representa uma imagem no Plano Cartesiano
(um pequeno ponto)

Estes três pares ordenados no plano aparecem assim:

Pontos (-1, -3) , (2, 0) , (5, 3) da esquerda para direita, nesta ordem.

Quando é uma função f(x): R em R , assume-se que é possível qualquer valor de x e qualquer valor de y no conjuntos dos números reais. Ou seja, se calcularmos todos os possíveis valores de x a imagem nesse Plano Cartesiano fica assim:

Gráfico da função f(x) = x - 2

Isto significa que toda função do primeiro grau se torna uma linha, uma linha formados por infinitos pontos, um ao lado do outro, tão próximos que não é possível visualizar nenhum ponto, apenas o alinhamento formado por eles. Ou seja, o alinhamento desses pontos é a reta.

Para entender melhor assista o vídeo:

RAIZ DA FUNÇÃO (ZERO DA FUNÇÃO)

Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau f(x) = ax + b, o valor x quando f(x) = 0.
Temos f(x) = 0 , ou seja, 0 = ax + b

Vejamos alguns exemplos:

1. Cálculo da raiz da função g(x) = x - 2:

0 = x - 2

-x = -2

(multiplica a equação por (-) )

x = 2

2. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:

0 = 2x - 5

-2x = -5

(multiplica a equação por (-) )

2x = 5 

COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM

Uma observação muito importante é que na função afim f(x) = ax + b existem dois números, o a e o b. Por exemplo:

f(x) = -3x + 2 ,  logo:    a = -3 e b = 2

f(x) = 2x - 1   ,  logo:    a = 2 e b = -1

f(x) = x + 4    ,  logo:    a = 1 e b = 4


O coeficiente b, é chamado coeficiente linear da reta. O que isto significa??
Quando o valor de x = 0, teremos f(0) = a·0 + b , ou seja, f(0) = b. Sendo assim, teremos o par ordenado (0, b).

Isso significa que o coeficiente linear b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

No exemplo dado acima, f(x) = x - 2 . Isto significa que o valor de b = -2 , e portanto esta função passa no eixo Oy no -2. (volte e observe o gráfico da função f(x) = x - 2)

Já o coeficiente de x, ou seja, o a, é chamado coeficiente angular da reta. Ele a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. Observe o gráfico abaixo com as seguintes funções:

Funções: f(x) = x+1 , f(x) = -2x e f(x) = -1

Neste gráfico há 3 funções.
(aproveite a oportunidade e observe os coeficientes lineares b)

• A função vermelha é a função f(x) = x + 1 . O coeficiente angular a = 1 (valor positivo) e por isso é uma função crescente. 

• A função amarela é a função f(x) = -2x . O coeficiente angular desta outra função é a = -2 (valor negativo) e por isso é uma função decrescente. 

• A função alaranjada é a função f(x) = -1 . O coeficiente angular desta outra função é a = 0 (valor nulo) e por isso é uma função constante.